<< Home Winkelsätze am KreisInhalt1. Einleitung2. Der Mittelpunktswinkel-Satz 2.1 Rechnerischer Beweis 2.1.1 Kombinationen 1 2.1.1.1 Kombination 1.1 2.1.1.2 Kombination 1.2 2.1.1.3 Kombination 1.3 2.1.2 Kombination 2 2.1.3 Kombination 3 2.2 Zeichnerischer Beweis 2.2.1 Kombinationen 1 2.2.1.1 Kombination 1.1 2.2.1.2 Kombination 1.2 2.2.1.3 Kombination 1.3 2.2.2 Kombination 2 2.2.3 Kombination 3 3. Der Umfangswinkel-Satz 4. Der Sehnentangentenwinkel-Satz 5. Anwendungen 5.1 Der Fasskreisbogen 5.2 Dreiecksbestimmung mittels Winkeln am Kreis 5.2.1. Rechnen und Zeichnen 5.2.1.1 Rechnen 5.2.1.2 Zeichnen 6. Quellen 1. EinleitungDie Winkelsätze am Kreis sind als grundlegende geometrische Sätze formulierte Beziehungen zwischen besonderen Winkeln am Kreis.
Bei den Winkelsätzen handelt es sich um den 2. Der Mittelpunktswinkel-Satz
"Ein Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie die Umfangswinkel an demselben Kreisbogen."[1] und [2], [3]
Die Scheitel der beiden Winkel befinden sich im Mittelpunkt M (μ, rot in Abb.1) eines vorgegebenen Kreisbogens bzw. in einem beliebigen Punkt P (φ, blau) auf dem den Vollkreis ergänzenden Kreisbogen (der auch auch Fasskreisbogen genannt wird). 2.1 Rechnerischer BeweisZu beweisen ist μ = 2 φ.
Dabei sind mehrere Fälle zu beachten, die sowohl vom Wert des Mittelpunktswinkels μ
Der Mittelpunktswinkel μ kann drei typische Werte annehmen (Abb.2):
Der Umfangspunkt kann auf dem Ergänzungsbogen mehrere typische Lagen einnehmen: Bei der folgenden Beweisführung wird auf alle sich aus den relevanten typischen Werten und Lagen sich ergebenden Kombinationen eingegangen. Kombinationen 1μ < 180° (φ < 90°)Kombination 1.1
P befindet sich im mittleren Bereich zwischen den Punkten A und B (typische Lage a), Abb.3)
Zum Beweis wird die 360°-Winkelsumme am Kreismittelpunkt M herangezogen: Für Weiteres sind Ausdrücke für die Winkel α und β erforderlich: Die beiden Dreiecke mit der gemeinsamen Seite MP sind gleichschenklig (ihre Schenkel sind Kreisradien)
Die Scheitelwinkel sind α bzw. β, die je gleich großen Basiswinkel sind φ1 bzw. φ2, und die beiden 180°-Dreieck-Innenwinkelsummen sind:
Die damit gefundenen Ausdrücke für die Winkel α und β sind:
Einsetzen der Terme für α und β in die Kreis-Winkelsumme ergibt: Mit der Summe φ = (φ1 + φ2) kommt man zum Mittelpunktswinkelsatz μ = 2φ. Kombination 1.2
P befindet sich auf der Verlängerung der Strecke |AM| über M hinaus (typische Lage b), s. Abb.4).
In diesem Fall ist das gleichschenklige Dreieck mit den Basiswinkeln φ1 zu einer Geraden geworden, und es gilt:
Die Summe 360°= α+β+μ; lautet jetzt
360°= 180°+ (180°- 2φ) + μ. Kombination 1.3
In der für die Kombination 1.1. vorgenommenen Rechnung (s. oben) gelten dadurch folgende Änderungen: Kombination 2μ = 180° (φ = 90°)
P befindet sich im mittleren Bereich zwischen den Punkten A und B (typische Lage a), s. Abb.6).
Die Beweisführung ist grundsätzlich gleich wie bei Kombination 1.1. Die Besonderheit ist der mit 180° fix vorgegebene Wert für den Winkel μ und der aus dem Mittelpunktswinkel-Satz folgende ebenfalls fixe Wert für den Winkel φ, nämlich 90°. Diese Winkelwerte verweisen darauf, dass die vorliegende Spezial-Kombination mit dem Thales-Halbkreis identisch ist. Die 90°-Winkel an einem Punkt auf dem Thales-Halbkreis sind Umfangspunktwinkel φ im Sinne des Mittelpunktswinkel-Satzes. Und der Winkel 180°, der zwischen den Kreisradien am Mittelpunt besteht ist der Mittelpunktswinkel μ. Kombination 3
befindet sich im mittleren Bereich zwischen den Punkten A und B (typische Lage a), s. Abb.7). Die Beweisführung ist identisch mit der bei der Kombination 1.1. 2.2 Zeichnerischer BeweisZu beweisen ist μ = 2 φ. Ein zeichnerischer Beweis des Mittelpunktswinkel-Satzes ist mit einer parallel in den Punkt P verschobenen Kopie des Mittelpunktswinkels μ möglich [1]. Die originalen und die kopierten μ-Schenkelpaare werden zu zwei Rauten ergänzt und deren Diagonalen zwischen den Punkten A und P bzw. zwischen den Punkten B und P eingezeichnet. Zur Beweisführung dient die Tatsache, dass die Diagonalen in den Rauten Winkelhalbierende sind.
Im Folgenden werden die im vorherigen Abschnitt (Rechnerischer Beweis) besprochenen Kombinationen in gleicher Reihenfolge nochmals behandelt. Kombinationen 1μ < 180° (φ < 90°)Kombination 1.1
P befindet sich im mittleren Bereich zwischen den Punkten A und B (typische Lage a), s. Abb.8). Die ungeteilten Innenwinkel der im Punkt P zusammentreffenden zwei Rauten (grün und orange) ergeben gemeinsam den Winkel μ.
Der Winkel φ ist die Summe der Hälften der Innenwinkel der zwei Rauten. Kombination 1.2
Weil sich P auf der Verlängerung der Strecke |AM| über M hinaus befindet (typische Lage b), s. Abb.9) besteht die grüne Raute nicht mehr.
Der Innenwinkel der verbleibenden orangen Raute ist jetzt μ, und dessen Hälfte ist φ. Kombination 1.3
Das Viereck AMBP ist jetzt ein überschlagenes Viereck (Punkt P in typische Lage c), s. Abb.10).
Die Innenwinkel der zwei Rauten ergeben auch hier am Punkt P gemeinsam den Winkel μ. Nur liegt jetzt ein Subtraktion vor:
Der Winkel φ ist die Subtraktion des halben Innenwinkels grün vom halben Eckwinkel orange: φ = κ/2 - λ/2 Kombination 2μ = 180° (φ = 90°)
P befindet sich im mittleren Bereich zwischen den Punkten A und B (typische Lage a), s. Abb.11).
Die Beweisführung ist grundsätzlich gleich wie bei Kombination 1.1.
Die Besonderheit ist der mit 180° fix vorgegebene Wert für den Winkel μ und der aus dem Mittelpunktswinkel-Satz folgende ebenfalls fixe Wert für den Winkel φ, nämlich 90°. Kombination 3μ > 180° (φ > 90°)
Die ungeteilten Innenwinkel der im Punkt P (in typischer Lage a), s. Abb.12)zusammentreffenden zwei Rauten (grün und orange) ergeben gemeinsam den Winkel μ. Der Winkel φist die Summe der Hälften der Innenwinkel der zwei Rauten. 3. Der Umfangswinkel-SatzDa der Mittelpunktswinkel-Satz unabhängig von der Lage des Umfangspunktes P gilt, ist mit seinem Beweis auch der Umfangswinkelsatz bewiesen. Dieser lautet: φ = const.,bzw. mit Worten: Der Umfangswinkel ist bei vorgegebenem Mittelpunktswinkel konstant. 4. Der Sehnentangentenwinkel-Satz
Aus der im Folgenden hergeleiteten Abhängigkeit des Sehnentangentenwinkels τ vom Mittelpunktswinkel μ wird mittels Mittelpunktswinkel-Satz auf die Abhängigkeit des Sehnentangentenwinkels vom Umfangswinkelswinkel φ geschlossen. Herleitung
Das Dreieck mit der Sehne s und dem Mittelpunkt M ist gleichschenklig (s. Abb.13). Seine Basiswinkel σ sind:
Die Winkel zwischen der Tangente t und dem Kreisradius MB ist 90°. SchlussfolgerungNach Anwendung des Mittelpunktswinkelsatzes μ = 2φ istτ = φ, und der Sehnentangentenwinkelsatz lautet in Worten: Die Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie der Umfangswinkel an einem Punkt des Kreisbogens. 5. AnwendungenViele Fragen zur Elementargeometrie, bei denen Winkel an Kreisen vorkommen, lassen sich mit einem Winkelsatz an Kreisen beantworten. Eine größere Zahl von Beispielen hat Paul Eigenmann veröffentlicht [4]. Als eines dieser Beispiele sei die Aufgabe Nummer 51 genannt [5]. 5.1 Der Fasskreisbogen
Als eine Anwendung – speziell des Umfangswinkel-Satzes – wird auch oft der Fasskreisbogen genannt. Gemeint ist dabei ein Kreisbogen über einer Strecke, von dem aus diese Strecke immer unter demselben Winkel erscheint. Im Grunde ist das aber keine Anwendung des Umfangswinkel-Satzes, sondern nur eine andere Aussage für diesen Satz, der aus dem Mittelpunktswinkel-Satz hervorgeht. 5.2 Dreiecksbestimmung mittels Winkeln am Kreis
Von einem Dreieck sind die Werte der Seite c, des gegenüber liegenden Winkels γ und der Höhe h über der Seite c gegeben. Damit ist es vollständig beschrieben.
Zum Zeichnen von Dreiecken wird üblicherweise anstatt einer bekannten Höhe als dritte Vorgabe der Wert eines weiteren Winkels (α oder β) oder einer weiteren Seite Mit der Lage des Punktes auf dem Kreisbogen wird seine zweite, die der Seite c parallele Koordinate gefunden. 5.2.1 Rechnen und ZeichnenDie vorgegebenen Werte seien:c = 7m, h = 5,5m, γ = 62°. 5.2.1.1 RechnenDer Mittelpunkt des Kreisbogens ergibt sich aus dem Umfangswinkel γ und dem doppelt so großen Mittelpunktswinkel μ= 2γ (= 124°).Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck ABM sind: δ = (180°- μ)/2 = 90°- μ/2 = 90°- γ (= 28°). 5.2.1.2 ZeichnenZuerst ist die Sehne c = 7m zu zeichnen.Dann wird in ihren Endpunkten A oder B der aus dem gegebenen Winkel γ berechnete Winkel δ = 28° gezeichnet. Der Mittelpunkt M des Kreisbogens ergibt sich als Schnittpunkt seines zweiten Schenkels mit der Mittelsenkrechten auf der Sehne c. Um den Mittelpunkt M wird nun der Kreisbogen durch die Punkte A und B eingezeichnet. Parallel zur Sehne c wird im Abstand von h = 5,5m eine Gerade gezeichnet. Deren Schnittpunkte C1 und C2 mit dem Kreisbogen sind Lagen des Dreieckpunktes C. Die Lösung ergibt zwei Möglickeiten. Die zwei gefundenen Dreiecke sind zueinander spiegelbildlich. 6. Quellen[1] Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, Kreiswinkelsatz, S. 15[2] Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Springer,2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 54 [3] Universität Jena: Kreiswinkelsatz. [4] Paul Eigenmann; Geometrische Denkaufgaben, Teil 1, Kreiswinkelsätze. Klett-Cotta, 2000, ISBN 10 / ISBN 13: 3127223102 / 9783127223101 [5] Siegfried Wetzel: Geometrische Denkaufgaben: Eigenmann-Aufgabe Nummer 51.
Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf, September 2026)
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Abb.1 
Abb.2 Mittelpunktswinkel μ (3 typische Werte: kleiner, gleich und größer als 180°) 
Abb.3 Geometrische Kombination 1.1 
Abb.4 Geometrische Kombination 1.2 
Abb.5 Geometrische Kombination 1.3 
Abb.6 Geometrische Kombination 2
Abb.7 Geometrische Kombination 2
Abb.8 Geometrische Kombination 1.1
Abb.9 Geometrische Kombination 1.1
Abb.10 Geometrische Kombination 1.3
Abb.11 Geometrische Kombination 2
Abb.12 Geometrische Kombination 3
Abb.13 
Abb.14 
Abb.15 Dreiecksbestimmung mittels Winkeln am Kreis