"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 1

Aufgabe 18

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    F = 28 cm2

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Trapez und sein flächenkonstantes Verzerren, Arithmetischer Mittelwert, Dreieckfläche

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden]    Die Fläche des Trapezes FT ist das Produkt aus seiner Höhe h und seiner mittleren Breite bm, die das arithmetische Mittel aus kleinster und größter Breite ist. Mit dem vorgegebenen Werten 5cm und 11cm ist   ( 5 + 11) / 2 =   bm = 8cm.
(8 • 7 =   FT =56 cm2.
Weil das schraffierte innere Dreieck seine linke Spitze in der Höhe in Trapezmitte hat, scheint es fraglos zu sein, dass seine Fläche F halb so groß wie die Trapezfläche FT ist:
FT / 2 =   F = 28 cm2.
Diese Aussage soll kontrolliert werden:
Das Trapez kann in der Horizontalen flächentreu verzerrt werden. Die maßgebende mittlere Breite bm ändert sich dabei nämlich nicht, weder ihr Wert noch ihre vertikale Lage.
Das gegebene Trapez wurde derart verzerrt, dass eine Seite (hier die linke) in die vertikale Lage gekommen ist. Auf diese Weise sind die leeren Dreiecke Lo und Lu rechtwinklig geworden, und die Berechnung ihren Flächen einfacher. Die schraffierte Fläche F ist die um die leeren Flächen Lo und Lu geminderte Trapezfläche FT. Das Ergebnis muss 28 cm2 sein:
Lo =(7/2 • 5) / 2 = 8,75 cm2         Lu = (7/2 • 11) / 2 = 19,25 cm2
56 cm2 - 8,75 cm2 - 19,25 cm2 =   F = 28 cm2.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf