"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 1

Aufgabe 47

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    α = 15°

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Peripherie- und Zentriwinkel, Seitenhalbierende, Gleichschenkliges und Gleichseitiges Dreieck,
   Winkelhalbierende

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] α ist ein Peripheriewinkel. Der zugehörende Zentriwinkel ist 2α.
Mit M ist angedeutet, dass der Radius r des Umkreises in seiner Mitte in r/2 und r/2 geteilt wird.
Der Winkel 2α ist der spitze Winkel in einem Rechtwinkligen Dreieck. Das Verhältnis zwischen Gegenkathete zur Hypotenuse ist r/2 : r = ½. Bei diesem Verhältnis hat der Winkel den Wert 30°
(was von   sin 30° = ½   bestätigt wird).     >>>     α = 15°.

Anmerkung:
Durch Spiegeln der oberen Schenkel von α und 2α um die Horizontale entstehen zwei Gleichschenkklige Dreiecke, deren rechtes sogar ein gleichseitiges ist. Das Letztere wird oft herangezogen, um den Sonderfall (rationales Zahlenverhältnis)   sin 30° = ½   zu erklären:
Im Gleichseitigen Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite in zwei gleiche Teile. Für den halben Seitenwinkel mit 30° ist das Verhältnis
Gegenkathede / Hypotenuse = Hälfte des Einheitsradius' / Einheitsradius = ½ / 1 = 0,5.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf