"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 4

Aufgabe 6

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    x= 12 cm

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Rechteck, Trapezfläche, Arithmetisches Mittel, Lineare Gleichung

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden]    Ein Rechteck ist mit einem schrägen Quer-Schnitt in zwei rechtwinklige Trapeze zerlegt.
Die Fläche FT eines Trapezes ist das Produkt aus Basisseite y und mittlerer Höhe h:   FT = y • h.
Die Basisseiten y beider vorliegenden Trapeze sind gleich lang. Sie sind der Rechteck-Breite b gleich.
Das Flächenverhältnis zwischen den Trapezen ist somit nur von ihrem Höhenverhältnis abhängig:
F60 / F30 = h60 / h30.
Die Trapez-Höhe h ist das Arithmetische Mittel aus den parallelen Grundseiten (oben und unten).
h60 = (8 + x) / 2     h30 = (7 + (15 -x)) / 2
Das vorgegebene Flächenverhältnist ist:  
F60 / F30 = 60 / 30 = 2.
Beide Ausdrücke für das Verhältnis gleichgesetzt ergibt eine nach x auflösbare lineare Gleichung:
2 = (8 + x) / (7 + (15 -x))   >>>   44 - 2x = 8 + x   >>>   36 = 3x   >>>   x = 12 cm.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf