"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe 109

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    F = 42 cm2

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Dreieckumfang, Satz des Heron, Dreieckfläche

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die Umfänge sind die Summe der Seitenlängen der jeweiligen Dreiecke. Drei Seitenlängen sind vorerst unbekannt: x, y und z, wobei   z=21-x   gilt.
Die beiden Umfange sind:     links - U1 = 13 + y +(21 -x)   rechts - U2 = x + y + 20.
U1 = U2 gesetzt:   13 + y + (21-x)   =   x + y + 20     >>>     x = 7 cm      (>>>   z = 14 cm).
Die Länge y ist entfallen, weil sie ein Anteil beider Umfänge ist.
Für die Flächenberechnung des Dreiecks F wird außer z noch die Höhe ha benötigt.
Diese kann mit Hilfe des Satzes des Heron ermittelt werden, der wie folgt lautet:
ha = 2/a• √ s (s-a) (s-b) (s-c) ‾
a, b und c sind die Längen der Seiten des ganzen (umfassenden) Dreiecks mit 21, 20 und 13 cm,
und s ist die Hälfte des ganzen Umfangs mit 54/2 = 27 cm.
ha (über der Grundseite a=21cm) ausgerechnet:
2/a• √ s (s-a) (s-b) (s-c) ‾ = 2/21 • √27•6•14•7 ‾ =      ha = 12 cm.
Größe der Fläche F:            (x • ha) /2 = 7•12/2 =       F = 42 cm2.
Anmerkung:
Der Satz des Heron ist i.a. als Formel für die Dreieckfläche bekannt:       A = √ s (s-a) (s-b) (s-c) ‾
Die Fläche durch die Hälfte einer Seitenlänge dividiert ist die Höhe über dieser Seite, was hier angewendet wurde.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf