"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe A113

originale Zeichnung

Lösung: [ein-/ausblenden]    x = 5 cm

Hinweise: [ein-/ausblenden] Kreisfläche, Kreisringfläche, Quadratische Gleichung u. "Mitternachtsformel"

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die Kreisfläche K und damit auch R = 1/3 der Ringfläche ist sofort bekannt:
K = R = r2π = 52π.
Die gesamte Ringfläche 3R ist das Dreifache dieses Ringteiles:
3R =3*52π.
Die Ringfläche ist auch die Differenz zwischen der Kreisfläche A innerhalb des
Randkreises (rA = (rK + x) = (5 + x)) und der Kreisfläche K:
A - K = 3R = (5+x)2π - 52π.
x ergibt sich durch Gleichsetzen der unterstrichenen Ausdrücke und Lösen der dabei entstehenden quadratischen Gleichung:
(5+x)2π - 52π   =   3(52π)     >>>     52+ 10x +x2 -52 = 3•52     >>>     x2 + 10x - 75 = 0
Der unterstrichene Ausdruck hat die Form     x2 + px + q = 0,     sodass die Lösung mit der "Mitternachtsformel" erfolgen kann.
Mitternachtsformel:         x1,2 = -p/2 ± √(p2/4 - q)‾
Lösen der Gleichung:     x1,2 = -5 ± √(102/4 + 75)‾   >>>     x1= x = 5 cm.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf