"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe 118

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    x = 22 cm

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Rechteckiges Dreieck, Inkreis, Kreis-Segment, Satz des Pythagoras, Strahlensatz

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Gesucht ist der Radius x des Inkreises im kleinsten rechtwinkligen Dreieck.
In der Zeichnung ist auch die Hälfte eines Kreis-Sektors mit der Höhe h = 12 cm und dem Radius
r =156 cm enthalten. Damit kann die Sehnen-Länge s berechnet (und damit ein vertikales Maß für die weiteren Rechnungen gewonnen) werden:
2√2rh - h2 ‾ = 2√2•156•12 - 122 ‾ = s = 120 cm     >>>     s/2 = 60 cm.
Die Formel für den Inkreis-Radius x lautet:     x = 2A/U.
Für die Dreieck-Fläche A und für den -Umfang U werden die drei Seitenlängen a, b und c benötigt.
Die Seite a mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
(a+12)2 = r2 - (s/2)2 = 1562 - 602 = 1442     >>>     a = 132 cm.
Die Seite b mit dem Strahlensatz berechnen:       b/60 = 132/144     >>>     b =  55 cm.
Die Seite c mit dem Strahlensatz berechnen:     c/156 = 132/144     >>>     c = 143 cm.
Dreieck-Fläche A und -Umfang U berechnen:
a•b/2 = 132•55/2 =     A = 3630 cm2           a + b + c = 132 + 55 +143 =       U = 330 cm.
x berechnen:         2a/U = 2•3620/330 =     x = 22 cm.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf