"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe 120

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    F = 108 cm2

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Dreieck-Flächenformel   A = a*b*sin(γ)/2,   Proportionalität zwischen Dreieck-Flächen,
   Dreieck-Flächenformel nach Heron

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die Dreieck-Flächenformel   A = a*b*sin(γ)/2   sagt aus, dass z.B. die die gesuchte Fläche F umgebenden drei leeren Dreieckflächen Di jeweils proportional zu den beiden Seitenlängen sind, die von der beteiligten Außendreieck-Ecke ausgehen. Die weitere Abhängigkeit ist die vom
sin-Wert dieses Eckwinkels.
Die Flächenformel eines solchen leeren Dreiecks unterscheidet sich von der des Außendreiecks D
nur bei den Seitenlängen, wenn beide auf demselben Eckwinkel basieren.
Die Seitenlängen sind vorgegeben, nämlich die der ecknäheren Werte für Di und die Summe der jeweils beiden Teilwerte für D.
sin(γ) entfällt im Verhältnis   Di / D.
D1 / D berechnen:       20*17 / (30*51) =     D1 / D = 2 / 9
D2 / D berechnen:       34 * 9 / (51*27) =     D2 / D = 2 / 9
D3 / D berechnen:       18*10 / (27*30) =     D3 / D = 2 / 9
Der Anteil der drei Leerflächen an der Fläche des umgebenden Dreiecks ist
3 * (2 / 9) = ∑(Di/D) = 2 / 3,     und der der Restfläche F ist     F / D = 1 / 3.
Fläche D mit Heron-Formel aus den Dreieckseiten u, v und w berechnen:
D = ¼√(4u2v2- (u2+v2-w2)2) = ¼√(4272302- (272+302-512)2) = 1294/4 =     D = 324 cm2.
⅓ von D ist 324/3 =     F = 108 cm2.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf