"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe 122

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    F = 864 cm2

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Rechtwinkliges Dreieck, Ähnlichkeit zwischen rechtwinkligen Dreiecken
   (linear und quadratisch: Länge und Fläche), Satz des Pythagoras, Trapez-Fläche

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die drei leeren rechtwinkligen Dreiecke haben paarweise eine Kathete gemeinsam:
D1 mit D2 und D2 mit D3.
Ihre Ähnlichkeit wird daraus ersichtlich, dass die Summe aus dem kleineren Basiswinkel des einen Dreiecks und aus dem größeren Basiswinkel des anderen Dreiecks 90° beträgt.
Die Größe der Fläche F ergibt sich aus der des umfassenden Trapez' abzüglich der Flächen der drei Dreiecke Di.
Die Länge der Basisseite von D1 ist im gleichen Verhältnis größer als 60 cm, wie die von D2 größer als die von D3 ist.
Das Verhälnis ist 60/45 = 4/3:       Die Basisseite von D1 ist (4/3)*60 = 80 cm.
Die Fläche T des Trapez' mittels Satz des Pythagoras berechnen:
60 * (45 + 80) /2 = 60*62,5 =       T= 3750 cm2
Die gemeinsme Fläche der Dreiecke D1 und D2 berechnen:     60 * 80 / 2 =     D1,2= 2400 cm2.
Die Länge der Basisseite b1,2 des Doppeldreiecks D1,2 mittels Satz des Pythagoras berechnen:
b12 = 602 + 802 = 1000     >>>     b1,2 = 100 cm.
Die Fläche des Dreiecks D3 berechnen: Diese Fläche ist die des Doppeldreiecks multipliziert mit dem Quadrat des Verhältnis zwischen den Längen ihrer Basisseiten. Dieses Längenverhältnis ist 45/100, das Quadrat davon ist 81/400.     >>>     2400 * 81 / 400 =     D3 = 486 cm2
Die Fläche F berechnen:       T - D1,2 - D3 = 3750 - 2400 - 486 =          F = 864 cm2.


<< zurück zur Artikelgruppe 3

Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf