"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe 133

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    1/5 der großen Quadratfläche ist schraffiert.

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Rotationssymmetrie, Ähnliche Dreiecke, Satz des Pythagoras

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die Graphik ist rotationssymmetrisch um ihren Mittelpunkt (gleiches Bild nach jeder Viertel-Drehung), wonach die Umrandung und die schraffierte Fläche Quadrate sind.
An die vier Ecken stoßen je zwei unterschiedlich große Dreiecke an. Sie sind sich alle ähnlich (Katheten-Verhältnis 1 : 2). Je vier der Dreiecke sind gleich groß.
Die Hypotenuse der größeren Dreiecks wird von den verlängerten Seiten des inneren Quadrats im Verhältnis 1 : 2 : 2 dreigeteilt. Dass die Seitenlänge des inneren Quadrats 2/5 der der Hypotenuse ist, zeigt auch das zusätzlich eingezeichete kleine Dreieck (blau).
Seitenlänge des äußeren Quadrats a = 1.
Länge der größeren Hypotenuse y mittels Satz des Pythagoras berechnen:
a2 + (a/2)2 = 1 + 1/4 = y2 = 5/4     >>>     y = √(5/4)
Anteil der schraffierten Fläche S an der äußeren Quadratfläche Q (= 1):
((2/5) * √(5/4))2 =     S = 1/5     >>>     S / Q = 1/5


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf