"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe 138

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    4/15

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Dreieck, Geraden-Gleichung, Satz des Pythagoras

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die schraffierte Fläche besteht aus zwei gleichen rechtwinkligen Dreiecken R1 und R2. Deren Flächen können mit den Werten der beiden Katheten k und h bestimmt werden.
Deren Längen lassen sich aus den Koordinatenwerten der beiden Eckpunkte K und H berechnen. Die Koordinaten ergeben sich aus den Gleichungen der sich in den Punkten kreuzenden Geraden.
Die drei zu verwendenden Geraden-Gleichungen lauten:    
g1:   y = 1/2 + x/2         g2:   y = 1/2 - x/2         g3:   y = 2*x       (Seitenlänge des Quadrats = 1)
Koordinaten des Punktes H mit Geraden g1 und g3 berechnen (rechte Seiten gleich setzen):
1/2 + x/2   =   2*x     >>>     xH =1/3     >>>     yH = 2/3
Koordinaten des Punktes K mit Geraden g2 und g3 berechnen:
1/2 - x/2   =    2*x     >>>     xK =1/5     >>>       yK = 2/5
Länge der Seite k mittels Satz des Pythagoras berechnen:
k2 = (1 - xK )2 + yK2 = (1 - 1/5)2 + (2/5)2 = 20/25                            >>>     k = (1/5)√20
Länge der Seite h mittels Satz des Pythagoras berechnen:
h2 = (xH - xK)2 + (yH - yK)2 = (1/3 - 1/5)2 + (2/3 - 2/5)2 = 20/125     >>>     h = (1/15)√20
Anteil der schraffierten Fläche an Quadrat-Fläche berechnen:
2 * k * h / 2 = (1/5)√20 * (1/15)√20 =         4 / 15.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf