"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 3

Aufgabe 144

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    x = 10 cm

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Strahlensatz, Gleichungs-System, Satz des Pythagoras

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die Länge x ist mittels Satz des Pythagoras aus den Längen a und (24cm - h) berechenbar. a und h werden vorab bestimmt.
Mit Hilfe des Strahlensatzes kann eine Beziehung (Gleichung) zwischen ihnen formuliert werden.
Die zweite notwendige Beziehung besteht im vorgegebenen Flächenverhältnis zwischen dem Dreieck und dem Trapez: 5*D = 4*T.
Die beiden Beziehungen (Gleichungen) sind ein Gleichungs-System, aus dessen Auflösung sich die Werte für h und a ergeben.
1. Gleichung (Strahlensatz):               h / 24 = 12 / (12+a)       >>>       h = 288/(12+a).
2. Gleichung (Flächenverhältnis):         5*D = 4*T       >>>       5 *(12*h/2)   =   4 * (a*(24+h)/2)
1. in 2. Gl. einsetzen:                         5*12*144/(12+a)   =   4*((a*12) + a*144/(12+a))
Die quadratische Gleichung kürzen und ordnen:       a2 + 24a -180 = 0.
Gleichung mit "Mitternachstformel" lösen:
a1,2 = -12 ± √(122 + 180) = -12 ± 18       >>>       a2 = a = 6 cm       >>>       h = 16 cm
Die Länge x mittels Satz des Pythagoras berechnen:
a2 + (24-h)2 = 62 + 82 = 100 = x2             >>>       x = 10 cm.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf