"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 4

Aufgabe 146

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    α = 72°

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Gleichschenkliges Dreieck, Innen-/Außenwinkel

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die Zeichnung enthält insgesamt vier gleichschenklige Dreiecke.
Drei davon sind erkennbar an den Kreisbögen, die jeweis zwei gleich lange Schenkel begrenzen.
Beim vierten ist zweimal der Winkel  α  vorgegeben, so dass es auch gleichschenklig ist
In der Nebenzeichnung sind die fehlenden Schenkel eingetragen, die Scheitelpunkte mit 1 bis 4 markiert und die Zeichen für die paarweisen Schenkelwinkel die jeweiligen zwei Basieingetragen.
Zur Bestimmung des gesuchten Winkels α werden nur die Dreiecke #1 bis #3 in Rechnung gestellt.
Die Dreiecke #2und #3 haben einen gemeinsamen Schenkel und sind somit gleich. Gebrauch wird davon gemacht, dass ihre Basiswinkel gleich sind.
1. Beziehung (Gleichung)          γ = β.
Der Wert des gesuchten Winkel α ist bestimmbar, wenn noch je eine voneinanander unabhängige Beziehung zwischen ihm und den Winkeln β und γ gefunden sind.
2. Beziehung (Gleichung) zwischen α und β im Dreieck #2 formulieren:
180°=(180°- α) + 2*β     >>>      β = α/2.
(180°- α) ist der Außenwinkel zum benachbarten Innenwinkel α.
3. Beziehung (Gleichung) zwischen α und γ im Dreieck #1 formulieren:
180° = 2*α + γ
1. und 2. Gl. in 3. Gl. einsetzen:
180° = 2*α + β
180° = 2*α + α/2              >>>      α = 72°.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf