"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 4

Aufgabe 157

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    α = 108°

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Gegenwinkel, Gleichschenkliges Dreieck, Periphweriewinkel, Dreieck-Innenwinkelsumme

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] In der originalen Zeichnung ist der Winkel α zweimal eingetragen.
Auf der rechten Seite befindet sich darunter ein gleichschenkliges Dreieck, in dem er als Gegenwinkel zum Schenkelwinkel wird.
Auf der linken Seite wird das Dreieck mit α in der oberen Ecke durch den Basiswinkel β von rechts her ergänzt (gegenüber liegendes Gegenwinkel-Paar). Da hier schon α enthalten ist, ist dieses Dreieck sowohl auch gleichschenklig als auch mit dem benachbarten ähnlich: der dritte Winkel hat auch den Wert β.
Somit kann der Winkel α aus dem Vergleich dieser beiden Dreiecke nicht bestimmt werden. Der Lösungsweg wird auf der rechten Seite der Zeichnung weiter gehen.
Von der Mitte gehen die Schenkel eines weiteren gleichschenkligen Dreiecks aus. β ist sein Schenkelwinkel, und γ sind seine Basiswinkel.
β (Basiswinkel) als Funktion von α (Schenkelwinkel):       180° = α + 2β     >>>     β = 90°- α/2.
γ (Basiswinkel) als Funktion von β (Schenkelwinkel) und von α:
180° = β + 2γ           >>>         γ = 90°- β/2       >>>      γ = 45°+ α/4.
Der Winkel   δ = γ - β:       45°+ α/4   -   90°- α/2   =     δ = (3/4)α - 45°.
Dieser Winkel bringt nun die Lösung, denn δ ist Peripheriewinkel für die rechts oben nachgezeichnete Sehne und ist es auch vom äußersten linken Punkt aus. Der dort eingetragene Winkel β ist gleich groß wie δ.
Die Innenwinkelsumme im Dreieck links:
180° = α + δ + β =   α  +   (3/4)α - 45°  +  90°- α/2     >>>    (5/4)α = 135°     >>>    α = 108°.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf