"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 4

Aufgabe 165

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    α = 60°

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Gleichseitiges Dreieck, Außenwinkelsatz

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Die mit einer Linie ergänzte Zeichnung enthält zwei gleichseitige Dreiecke. Ihre Basiswinkel sind mit β bzw γ bezeichnet.
Gemäß Außenwinkelsatz sind die Außenwinkel zu den jeweiligen Schenkelwinkeln:
2*β   bzw   2*γ.
Die Innenwinkelsumme im linken Dreieck ist:     180° = α+2β+2γ.
Im Dreieck oben rechts ergibt sich der dritte Winkel aus dem gleichen Satz zu   den Wert 2α+β.
Die Innenwinkelsumme dort ist:                           180° = 2α+2β.
Gleichsetzen der beiden Innenwinkelsummen:     α+2β+2γ  =   2α+2β          >>>    2β+2γ = 2α.
Damit ist die Innenwinkelsumme im linken Dreieck:      180° = α+2α = 3α     >>>     α = 60°.

Anmerkung: Das linke Dreieck ist nicht gleichseitig . Einer seiner drei Winkel ist α = 60°, aber die beiden anderen haben nur in der Summe 2*α = 120°. Die zwei Linien rechts kreuzen sich immer unter 60°, unabhängig von der Form des linken Dreiecks bzw. der gesamten Zeichnung.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf