"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 4

Aufgabe 168

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    x = 48 cm

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Gleiche Länge der zwei von einem Punkt zu einem Kreis führenden Tangenten,
   Satz des Pythagoras

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] x ist die größere Kathete im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 73 cm.
Von der vertikalen kleineren Kathete ist vorerst der Anteil y nicht bekannt, bevor x mittels Satz des Pythagoras berechenbar wäre.
Die interessierende Strecke y ist die vertikale der vom rechten Endpunkt der Hypotenuse ausgehenden relativ kurzen Tangenten an den Kreis mit Radius 40 cm. Ihr Länge (in Abhängigkeit von x) kann durch einen Vergleich der beiden langen Tangenten, in deren oberer die Partnerin von y enthalten ist, gefunden werden.
Vergleich der beiden Ausdrücke für die längeren Tangenten:
x + 40   =   73 + y    >>>     y = x + 40 - 73.
Berechnen der Länge x mittels Satz des Pythagoras:
1. Quadratische Gleichung aufstellen:
     732 = x2 + (40 + y)2    >>>    732 = x2 + (40 + (x+40-73) )2    >>>    732 = x2 + (x + 7)2    >>>
     x2 + 7x - 2640 = 0
2. Gleichung mittels "Mitternachtsformel" lösen:
     x1,2 = - (7/2) ± √((7/2)2 + 2640)    >>>    x1,2 = - (7/2) ± (103/2)    >>>    x1 =     x = 48 cm.


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf