"Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenmann: Teil 1 / Gruppe 4

Aufgabe 169

originale Zeichnung
bearbeitete Zeichnung [ein-/ausblenden]

Lösung: [ein-/ausblenden]    α = 56¼°   β= 78¾°

Hinweise: [ein-/ausblenden]    Gleichschenkliges Dreieck, Innen-/Außenwinkel, Winkelhalbierende, Lineares Gleichungssystem

Finden der Lösung: [ein-/ausblenden] Das doppelte Vorkommen gleicher Winkel in einem Dreieck bedeutet, dass dieses gleichschenklig ist:
Der Schenkelwinkel im Dreieck mit den beiden Basiswinkeln β ist   (180°- 2β).
In allen drei Ecken des äußeres Dreiecks ist die Winkelhalbierende eingezeichnet. Die beidseits anliegenden Winkel sind gleich groß:
oben:   α = α       rechts:   γ = γ       links:   (180°- 2β) = (180°- 2β)
Im kleinen Dreieck oben rechts ist der Winkel in der unteren Ecke β (Gegenwinkel zum Winkel in der oberen Ecke des links darunter befindlichen Dreiecks).
Somit ist auch der dritte Winkel in diesem Dreieck bekannt:   (180°- α - β).
Im Dreieck links direkt unter der Winkelhalbierenden ist der stumpfe Winkel der Außenwinkel zu α im kleinen darüber befindlichen Dreieck:   (180°- α).
Die gesuchten Werte der Winkel α und β werden durch Lösen eines Gleichungs-Systems, das aus den Innenwinkelsummen dreier einander übergreifender Dreiecke besteht, gefunden. Dabei wird zusätzlich γ als Hilfswinkel benutzt, weshalb das Aufstellen von drei Einzelgleichungen erforderlich ist.
1. Gleichung im Dreieck A-D-C:   180° = (180°- 2β) + (180°- α - β) + 2α     >>>     α = 3β - 180°.
2. Gleichung im Dreieck B-C-E:   180° = γ + 3α                                       >>>     γ = 180°- 3α.
3. Gleichung im Dreieck B-E-A:   180° = γ + (180°- α) + 2*(180°- 2β)      >>>     γ = α + 4β - 360°.
Gleichsetzen von Gl.2 und Gl.3:   180°- 3α   =   α + 4β - 360                 >>>     4α = 540°- 4β.
Ergebnis mit vervielfachter Gl. 1 gleichsetzen:
540°- 4β   =   4 * (3β - 180°)      >>>     β = 78¾°      >>>     α = 56¼°


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Siegfried Wetzel, CH 3400 Burgdorf